Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx经过点A（-1，1），B（-3，1），BC⊥x轴于点C，动点P从点O出发，沿着x轴负方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q．设点P移动的方向为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求抛物线的表达式；
（2）以PQ为一边作正方形PQMN，且点N在点Q的左侧．
①请直接写出用含t的代数式表示点M，点N的坐标；
②是否存在t，使得正方形PQMN的顶点M或顶点N在抛物线上？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若S=$\frac{9}{16}{k}^{2}$，其中k是不等式4k-3＜k+6的正整数解，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据正方形对角顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，可得答案；
（3）①根据函数图象上点的坐标满足函数解析式，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
②分类讨论：k=1时，根据三角形的面积公式，可得方程，根据解方程，可得答案；k=2时，根据相似三角形的性质，可得梯形的上底，根据梯形的面积公式，可得方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）将点A（-1，1），B（-3，1）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{9a-3b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x；
（2）①P（-2t，0），Q在PO的垂直平分线上，Q，（-t，t），
设M（-a，a），
QM=PQ=$\sqrt{2}$t，
（-a+t）²+（a-t）²=2t²，
解得a=-2t，即M（-2t，2t）；
PM的中点也是QN的中点，
N点的横坐标-2t+（-2t）-（-t）=-3t，N点的纵坐标2t-t=t，
N（-3t，t），
M（-2t，2t），N（-3t，t），
②当点M在抛物线上时，
2t=-$\frac{1}{3}$（-2t）²-$\frac{4}{3}$（-2t）．
解得t=0（舍），t=$\frac{1}{2}$；
当点N在抛物线上时，
t=-$\frac{1}{3}$（-3t）²-$\frac{4}{3}$（-3t），
解得t=0（舍），或t=1，
∴t的值为$\frac{1}{2}$或1．
（3）由4k-3＜k+6，得
k=1或k=2，
当k=1时，如图1：，
S=$\frac{9}{16}{k}^{2}$=$\frac{9}{16}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$t）²，
解得t=$\frac{3}{4}$，
当k=2时，S=$\frac{9}{16}{k}^{2}$=$\frac{9}{4}$，

如图2，Q₂E⊥OP₂，
OP₂=2t，OE=Q₂E=t，Q₂F=t-1，
$\frac{FA}{OE}$=$\frac{{Q}_{2}F}{{Q}_{2}E}$，即FA=$\frac{（t-1）t}{t}$=t-1，
AD=2AF=2（t-1），
四边形OAFP₂=$\frac{1}{2}$（2t-2+2t）×1=$\frac{9}{4}$，
解得t=$\frac{13}{8}$，
综上所述：$\frac{3}{4}$或$\frac{13}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用正方形对角顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等是解题关键；（3）利用了三角形的面积公式，梯形的面积公式得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．