【题目】如图1,已知正方形ABCD的顶点A,B分别在y轴和x轴上,边CD交x轴的正半轴于点E.
(1)若A(0,a),且,求A点的坐标;
(2)在(l)的条件下,若3AO=4EO,求D点的坐标;
(3)如图2,连结AC交x轴于点F,点H是A点上方y轴上一动点,以AF、AH为边作平行四边形AFGH,使G点恰好落在AD边上,试探讨BF,HG与DG的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)A(0,4)或(0,);(2)D(4,2)或(4,);(3)2HG2+DG2=4BF2,详见解析
【解析】
(1)由,得出a=±4,即可得出结果;
(2)当A(0,4)时,作DN⊥OE于N,作AM⊥DN于M,连AE,由AAS证得△AOB≌△AMD,得出AM=AO=4,求出EO=3,在Rt△AOE中,AE2=AO2+EO2=25,在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,设D(4,m),代入求出m=2,即可得出结果;同理当A(0,-4)时,可求出D点坐标;
(3)作FP⊥AD于P,连DF,在Rt△AFP中,得到HG=AF=PF,证明BF=DF与BF=GF,得出点P是DG的中点,在Rt△PDF中,PF2+DP2=DF2,即()2+()2=BF2,即可得出结果.
(1)解:∵,
∴a=±4,
∴A点的坐标为(0,4)或(0,-4);
(2)当A点的坐标为(0,4)时
作DN⊥OE于N,作AM⊥DN于M,连AE,如图1所示:
则∠BAD=∠OAM=90°,
即∠BAO+∠OAD=∠OAD+∠DAM,
∴∠BAO=∠DAM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ADE=90°,
在△AOB与△AMD中,
,
∴△AOB≌△AMD(AAS),
∴AM=AO=4,
∴四边形AONM是正方形,
∴MN=ON=4,
∵3AO=4EO,
∴EO=3,
在Rt△AOE中,AE2=AO2+EO2=42+32=25,
在Rt△AMD中,AD2=AM2+DM2,
在Rt△DNE中,ED2=EN2+DN2,
在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,
∴AM2+DM2+EN2+DN2=25,
设D(4,m),则DM=4m,EN=43=1,DN=m,
∴4span>2+(4m)2+12+m2=25,
∴m=2,
∴D(4,2)
当A点的坐标为(0,-4)时,
同理可得D(4,-2)
(3)解:2HG2+DG2=4BF2,理由如下:
过点F作FP⊥AD于P,连DF,如图2所示:
∵四边形AFGH是平行四边形,
∴HG=AF,AH∥GF,
∴∠FGA=∠GAH,
∴∠FGD=∠OAG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠CAD=∠BCF=∠DCF=45°,∠BAD=∠CDA=∠ABC=90°,
∴△APF是等腰直角三角形,
∴PF=AP,
∴
∴AF=PF,
∴HG=AF=PF,
故PF=,
在△BCF和△DCF中,
,
∴△BCF≌△DCF(SAS),
∴BF=DF,∠CBF=∠CDF,
∵∠FDG=90°∠CDF,∠ABO=90°∠CBF,
∴∠FDG=∠ABO,
∵∠OAG+∠OAB=90°,∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠OAG=∠ABO,
∴∠FGD=∠FDG,
∴GF=DF=BF,
∴点P是DG的中点,
∴DP=,
在Rt△PDF中,PF2+DP2=DF2,
即()2+()2=BF2,
∴2HG2+DG2=4BF2.
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【题目】如图,数轴上有三个点A、B、C,表示的数分别是-4、-2、3,请回答:
(1)若C、B两点的距离与A、B两点距离相等,则需将点C向左移动________个单位;
(2)若移动A、B、C三点中的两点,使三个点表示的数相同,移动方法有________种,其中移动所走的距离之和最小的是________个单位;
(3)若在B处有一小青蛙,一步跳一个单位长,小青蛙第一次先向左跳一步,第2次向右跳3步,第3次向再向左跳5步,第4次再向右跳7步……,按此规律继续下去,那么跳第100次时落脚点表示的数是________;
(4)若有两只小青蛙M、N,它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y,且|x-2|+|y+3|=2,求两只青蛙M、N之间的距离.
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【题目】把下列各数填入相应集合内:﹣2,,4,1.1010010001,,π,0.3%,,﹣|﹣3|,(﹣1)2012
整数集合:[_____…];
分数集合:[_____…];
无理数集合:[_____…];
正数集合:[_____…].
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【题目】如图,根据图中信息解答下列问题:
(1)关于x的不等式ax+b>0的解集是 ;
(2)关于x的不等式mx+n<1的解集是 ;
(3)当x满足 的条件时,y1y2;
(4)当x满足 的条件时,0<y2<y1.
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【题目】为了帮助湖北省武汉市防控新冠肺炎,某爱心组织筹集了部分资金,计划购买甲、乙两种救灾物资共2000件送往灾区,已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵10元,用350元购买甲种物资的件数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同.
(1)求甲、乙两种救灾物资每件的价格各是多少元?
(2)经调查,灾区对甲种物资的需求量不少于乙种物资的1.5倍,若该爱心组织如何购买这2000件物资,才能使得购买资金最少?
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【题目】出租车驾驶员从公司出发,在南北向的人民路上连续接送5批客人,行驶路程记录如下(规定向南为正,向北为负,单位:km):
第1批 | 第2批 | 第3批 | 第4批 | 第5批 |
3 km | 10 km | -4 km | -3 km | -7 km |
(1)接送完第5批客人后,该驾驶员在公司什么方向,距离公司多少千米?
(2)该驾驶员离公司距离最远是多少千米?
(3)若该出租车每千米耗油0.2升,那么在这过程中共耗油多少升?
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【题目】周日上午小明从家跑步去图书馆,在那里看了一会儿书后又走到文具店去买笔记本,然后散步回家.下图反映的是小明离家的距离 与所用时间之间的函数关系,据此回答问题:
(1)图书馆离小明家 ,小明从家到图书馆用了 .
(2)图书馆离文具店____.
(3)小明在文具店停留了
(4)小明从文具店回到家的平均速度是多少千米/小时?(写出简要计算过程)
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【题目】如图,等边△ABC内接于⊙O,P是上任一点(点P不与点A、B重合),连AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.
(1)填空:∠APC=____ 度,∠BPC=____度;
(2)求证:△ACM≌△BCP;
(3)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积.
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【题目】一种竹制躺椅如图①所示,其侧面示意图如图②③所示,这种躺椅可以通过改变支撑杆CD的位置来调节躺椅舒适度.假设AB所在的直线为地面,已知AE=120 cm,当把图②中的支撑杆CD调节至图③中的C′D的位置时,∠EAB由20°变为25°.
(1)你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗?(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 20°≈0.342 0,sin 25°≈0.422 6)
(2)已知点O为AE的一个三等分点,根据人体工程学,当点O到地面的距离为26 cm时,人体感觉最舒适.请你求出此时枕部E到地面的高度.
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