【题目】如图(1),在矩形中,把、分别翻折,使点、分别落在对角线上的点、处,折痕分别为、.
(1)求证:.
(2)请连接、,证明四边形是平行四边形
(3)、是矩形的边、上的两点,连结、、,如图(2)所示,若,.且,,求的长度.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)PC=2
【解析】
(1)根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,从而根据AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM,从而即可判断出△ADN≌△CBM;
(2)连接NE、MF,根据(1)的结论可得出NF=ME,再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME,即可得到结论;
(3)设AC与MN的交点为O,EF=x,作QG⊥PC于G点,首先求出AC=5,根据翻折变换知:AF=CE=3,于是可得AF+(CE-EF)=5,可得EF=1,在Rt△NFE中,NO2=NF2+OF2,求出NO的长,即NM=PQ=QC=2NO,PC=2 .
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC,∠B=∠D=90°,
由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,
∵AD//BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∴∠DAN=∠BCM,
在Rt△AND和Rt△CMB中, ,
∴△AND≌△CMB(AAS)
(2)由(1)得:△AND≌△CMB,
∴NF=ME,
∵∠NFE=∠MEF,.
∴NF∥ME,
∴四边形MFNE是平行四边形;
(3)设AC与MN的交点为O,EF=x,作QG⊥PC于G,如图所示:
∵AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵AF=CE=BC=3,
∴2AF-EF=AC,即6-x=5,
解得x=1,
∴EF=1,
∴CF=2,
由折叠的性质得:NF=DN=,
∵OE=OF=EF=,
∴在Rt△NFO中,ON2=OF2+NF2,
∴ON=,
∴MN=2ON=,
∵PQ∥MN,PN∥MQ,
∴四边形MQPN是平行四边形,
∴MN=PQ=,
∵PQ=CQ,
∴△PQC是等腰三角形,
∴PG=CG,
在Rt△QPG中,PG2=PQ2-QG2,
∴PG==1,
∴PC=2PG=2.
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【题目】如图,把一块三角板放在直角坐标系第一象限内,其中30°角的顶点A落在y轴上,直角顶点C落在x轴的(,0)处,∠ACO=60°,点D为AB边上中点,将△ABC沿x轴向右平移,当点A落在直线y=x﹣3上时,线段CD扫过的面积为_____.
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【题目】已知,四边形是正方形,点在边上,点在边的延长线上,且,连接.
(1)如图①,连接.求证:是等腰直角三角形;
(2)如图②,与交于点,若正方形的边长为6,,求的长.
(3)点,点分别在边,边上,与交于点,且,若正方形的边长为6.求的长(直接写出结果即可)
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【题目】如图,点是的边的延长线上一点,点是边上的一点(不与点重合).以、为邻边作平行四边形,又(点、在直线的同侧),如果,那么的面积与面积的比值为____________.
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【题目】我们知道“距离地面越高,温度越低”,下表给出了距离地面的高度与所在位置的温度之间的大致关系.
距离地面的高度(千米) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
所在位置的温度(C) | 20 | 14 | 8 | 2 |
(1)上表中哪个是自变量?
(2)由表可知,距离地面高度每上升1千米,温度降低______℃;
(3)2018年5月14日,四川航空3U8633航班执行重庆—拉萨航班任务,飞行途中,在距离地面9800米的高空,驾驶舱右侧挡风玻璃突然破裂,2名飞行员在超低压、超低温的紧急情况下,冷静应对,最终飞机成功降落,创造了世界航空史上的奇迹,请你计算出飞机发生事故时所在高空的温度(假设当时所在位置的地面温度为20℃).
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【题目】如图,抛物线 与X轴交于点A、B,把抛物线在X轴及其下方的部分记作,将向左平移得到,与X轴交于点B、D,若直线与、共有3个不同的交点,则m取值范围是( )
A. <m< B. <m< C. <m< D. <m<
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【题目】高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为.据研究,高空抛物下落的时间t(单位:s)和高度 h(单位:m)近似满足公式 t=(不考虑风速的影响)
(1)从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s,从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s;
(2)t2 是 t1 的多少倍?
(3)经过 1.5s,高空抛物下落的高度是多少?
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)求证:△PCF是等腰三角形;
(3)若AF=6,EF=2,求⊙O的半径长.
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