Question

四边形ABCD是平行四边形，E是对角线AC上一点，射线DE分别交射线CB、AB于点F、G．
（1）如图，如果点F在CB边上，点G在AB边的延长线上，求证：

EF

DE

+

FG

DG

=1；
（2）如果点F在CB边的延长线上，点G在AB边上，试写出

EF

DE

与

FG

DG

之间的一种等量关系，并给出证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）易证△ADE∽△CFE，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得

EF

DE

=

CF

AD

，

FG

DG

=

BF

AD

，然后根据线段的和差即可证得；
（2）思路与（1）相同．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADE∽△CFE，
∴

EF

DE

=

CF

AD

，

FG

DG

=

BF

AD

，
∴

EF

DE

+

FG

DG

=

CF

AD

+

BF

AD

=

CF+BF

AD

=

BC

AD

=

AD

AD

=1；

（2）

EF

DE

与

FG

DG

之间的等量关系是：

EF

DE

-

FG

DG

=1．
证明：：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADE∽△CFE，
∴

EF

DE

=

CF

AD

，

FG

DG

=

BF

AD

，
∴

EF

DE

-

FG

DG

=

CF

AD

-

BF

AD

=

BC

AD

=

AD

AD

=1．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质把两线段的比转化为另外两线段的比是关键．