Question

如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移动到点A为止．
（1）写出AP的长y₁和AQ的长y₂关于时间t的函数；
（2）经过多少时间后，△APQ与△ABC相似？
（3）在整个过程中，是否存在使△APQ的面积恰好为△ABC面积一半的情况？若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得：y₁=2t（0≤t≤6），y₂=16-t（0≤t≤16）．

（2）当0≤t≤6时，
①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC．
∴．
∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2t，AQ=16-t，
∴，
解得：
②∵∠A=∠A，若∠AQP=∠C，
则有△AQP∽△ACB
∴
∴，
解得：t=6.4、（不符合题意，舍去）
当6≤t≤16时，点P与C重合
∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB时，有△AQC∽△ACB，
∴
∴，
解得：t=7
综上所述：
在0≤t≤6中，当时，△AQP∽△ABC
在6≤t≤16中，当t=7时，△AQC∽△ACB

（3）当0≤t≤6时，过点P、C分别作AB的垂线，垂足为D、E，
∴PD=APsin∠A，CE=ACsin∠A．
如果△APQ的面积恰好为△ABC面积一半，
那么，
∴，
得：t²-16t+48=0，
解得：t=4或者t=12（舍去）．
当6≤t≤16时，点P与C重合，
即，
如果△AQC的面积恰好为△ABC面积一半，
那么，
解得：t=8 ．
综上所述：
在0≤t≤6中，当t=4时，△APQ的面积恰好为△ABC面积一半；
在6≤t≤16中，当t=8时，△AQC的面积恰好为△ABC面积一半．
分析：（1）本题可结合三角形的周长，根据路程=速度×时间求出AP的长y₁和AQ的长y₂关于时间t的函数；
（2）分0≤t≤6，6≤t≤16两种情况，根据相似三角形的性质求出所用的时间；
（3）当0≤t≤6时，过点P、C分别作AB的垂线，垂足为D、E，根据△APQ的面积恰好为△ABC面积一半，，求出所用的时间；当6≤t≤16时，点P与C重合，即，根据△AQC的面积恰好为△ABC面积一半，求出所用的时间．
点评：本题主要考查了路程问题，三角形的面积比的计算，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（2）（3）中，要根据P点、Q点的不同位置进行分类求解．