设a,b都是正整数,若二次函数y=a2+bx+1的图象与x轴有两个交点,且这两个交点的横坐标x1,x2,满足-1<x1<x2<0,
求:正整数a,b的最小值及此时x1,x2的值.
分析:先根据根与系数的关系得到x
1+x
2=
- ,x
1x
2=
,再利用-1<x
1<x
2<0得到(1+x
1)(1+x
2)>0,进而得到(1+x
1)(1+x
2)=1+x
1+x
2+x
1x
2=1-
+=
>0,可推出a、b的取值范围值,进而求出a、b的值.
解答:解:解法1:依题意,x
1,x
2为方程ax
2+bx+1=0的两实根,
则b
2-4a>0①
x
1+x
2=
- ,x
1x
2=
②,
∵-1<x
1<x
2<0,
∴1+x
1>0,1+x
2>0,
即(1+x
1)(1+x
2)>0,
∴(1+x
1)(1+x
2)=1+x
1+x
2+x
1x
2=1-
+=
>0,
而a>0,
∴a-b+1>0,即:a>b+1,又a,b都是正整数,则a≥b③,
由①得,b>2
④,
由③、④得a>2
,即
>2,
∴a>4,因此正整数a的最小值为5.
由④得:b>2
>4,
∴正整数b的最小值为5,
当a=b=5时,ax
2+bx+1=0的根为x=
,
∴
x1=,
x2=解法2:依题意:y=ax
2+bx+1=a(x-x
1)(x-x
2),
令x=-1得:a(-1-x
1)(-1-x
2)=a-b+1,
即a(1+x
1)(1+x
2)=a-b+1,
∵-1<x
1<x
2<0,
∴1+x
1>0,1+x
2>0,
即(1+x
1)(1+x
2)>0,
∴a(1+x
1)(1+x
2)=a-b+1>0,
而a,b为正整数,则a(1+x
1)(1+x
2)=a-b+1≥1,
而x
1x
2=
,
∴a
2(1+x
1)(1+x
2)x
1x
2=a-b+1≥1,
∴a
2≥
,
由于0<(1+x
1)(-x
1)=-
(x1+) 2+
≤,当
x1=-时取最大值;
同理0<(1+x
2)(-x
2)=-
(x2+) 2+
,当x
2=
-时取最大值;
而-1<x
1<x
2<0,
∴0<(1+x
1)(1+x
2)x
1x
2=(1+x
1)(-x
1)(1+x
2)(-x
2)<
,
从而a
2≥
>16,
而a为正整数,所以a的最小值为5,
由于x
1,x
2为方程ax
2+bx+1=0的两实根,则b
2-4a>0,
∴b>2
>4,
∴正整数b的最小值为5,
当a=b=5时,ax
2+bx+1=0的根为x=
,
∴x
1=
,x
2=
.
点评:此题考查了抛物线与x轴的交点坐标,根据函数特点及根与系数的关系得到关于a、b的不等式,再求出其具体值是解题的重要环节.