Question

将一条长为24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于20cm²，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于15cm²吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何图形问题

分析：（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为

24-4x

4

=（6-x）cm，根据“两个正方形的面积之和等于20cm²”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，可得二次函数y=x²+（6-x）²=2（x-3）²+18，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是18，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于15cm²．

解答：解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（6-x）cm，
依题意列方程得x²+（6-x）²=20，
整理得：x²-6x+8=0，
（x-2）（x-4）=0，
解方程得x₁=2，x₂=4，
2×4=8cm，24-8=16cm；
或4×4=16cm，24-16=8cm．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是8cm、16cm；

（2）两个正方形的面积之和不可能等于15cm²．
理由：
设两个正方形的面积和为y，则
y=x²+（6-x）²=2（x-3）²+18，
∵a=2＞0，
∴当x=3时，y的最小值=18＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于15cm²；

另解：由（1）可知x²+（6-x）²=15，
化简后得2x²-12x+21=0，
∵△=（-12）²-4×2×21=-24＜0，
∴方程无实数解；
故两个正方形的面积之和不可能等于15cm²．

点评：考查了一元二次方程的应用，此题等量关系是：两个正方形的面积之和=20或15．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．