Question

9．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=-$\frac{4}{3}$（x-2）²+k过点A．
（1）求k的值；
（2）若把抛物线y=-$\frac{4}{3}$（x-2）²+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入二次函数解析式中，可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）设AB与y轴交于点D，结合勾股定理以及菱形的性质找出点B、C的坐标，根据二次函数的解析式求出该抛物线与x轴的交点坐标，再根据平移的性质找出平移后过C点的二次函数的解析式，代入B点的坐标来验证其是否在平移后的函数图象上即可得出结论..

解答 解：（1）∵$y=-\frac{4}{3}{（x-2）^2}+k$经过点A（3，4），
∴$-\frac{4}{3}×{（3-2）^2}+k=4$，
解得：$k=\frac{16}{3}$；
（2）如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD=3，OD=4，$OA=\sqrt{A{D^2}+O{D^2}}=\sqrt{{3^2}+{4^2}}=5$．

∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=OC=5，BD=AB-AD=2，
∴B（-2，4）．
令y=0，得$-\frac{4}{3}{（x-2）^2}+\frac{16}{3}=0$，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴抛物线$y=-\frac{4}{3}{（x-2）^2}+\frac{16}{3}$与x轴交点为O（0，0）和E（4，0），OE=4，
当m=OC=5时，平移后的抛物线为$y=-\frac{4}{3}{（x+3）^2}+\frac{16}{3}$，
令x=-2得，$y=-\frac{4}{3}{（-2+3）^2}+\frac{16}{3}=4$，
∴点B在平移后的抛物线$y=-\frac{4}{3}{（x+3）^2}+\frac{16}{3}$上；
当m=CE=9时，平移后的抛物线为$y=-\frac{4}{3}{（x+7）^2}+\frac{16}{3}$，
令x=-2得，$y=-\frac{4}{3}{（-2+7）^2}+\frac{16}{3}≠4$，
∴点B不在平移后的抛物线$y=-\frac{4}{3}{（x+7）^2}+\frac{16}{3}$上．
综上，当m=5时，点B在平移后的抛物线上；当m=9时，点B不在平移后的抛物线上．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换以及菱形的性质，解题的关键是找出平移的m的值．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）稍显繁琐，在解决该问时，借用原抛物线与x轴的交点，确定平移的m是关键．