Question

13．如图，抛物线y=-x²+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一点，是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 求出线段AC绕点A顺时针旋转90°后的对应点C′、绕点C逆时针旋转90°后的对应点A′的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC′、CA′的解析式，再分别与抛物线解析式联立求解即可．

解答 解：令y=0，则-x²+3x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，点A的坐标为（-1，0），
如图，①线段AC绕点A顺时针旋转90°后的对应点C′（3，-1），
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以，直线AC′的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{17}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{21}{16}}\end{array}\right.$，
所以，点P的坐标为（$\frac{17}{4}$，-$\frac{21}{16}$），
②线段AC绕点C逆时针旋转90°后的对应点A′的坐标为（4，3），
设直线CA′的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{4m+n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{4}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
所以，直线CA′的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}x+4}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{13}{4}}\\{{y}_{2}=\frac{51}{16}}\end{array}\right.$，
所以，点P的坐标为（$\frac{13}{4}$，$\frac{51}{16}$），
综上所述，点P（$\frac{17}{4}$，-$\frac{21}{16}$）或（$\frac{13}{4}$，$\frac{51}{16}$）时，△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于求出另一直角边所在的直线的解析式．