Question

（2004•四川）如图，要在底边BC=160cm，高AD=120cm，的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M，此时．
（1）设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大；
（3）以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积最大？请说明理由（注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备）

Answer 1

【答案】分析：（1）按题目给出的比例关系式求解即可；
（2）根据矩形的面积公式可得出S=xy，根据（1）得出的关于x，y的函数关系式可用x替换掉y即可得出S与x的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的x的值；
（3）根据（2）得出的矩形的长和宽，可用长方形的长为底面周长，宽为高来围铁桶，也可用长方形的宽为底面周长，长为高来围铁桶．分别计算出两种围法围出的铁桶的体积，然后找出体积最大的哪种情况即可．
解答：解：（1）∵，
∴
∴y=-x+160（或x=-y+120）；

（2）∵S=xy，
∴S=-x²+160x=-（x²-120x）=-（x²-120x+3600-3600）
=-（x-60）²+4800．
所以当x=60cm时，Smax=4800cm²；

（3）围圆柱形铁桶有两种情况：
当x=60cm时，y=-×60+160=80cm．
第一种情况：以矩形EFGH的宽HE=60cm作铁桶的高，长HG=80cm作铁桶的底面周长．
则底面半径R=cm，铁桶体积V₁=π•（）²•60=cm³．
第二种情况：以矩形EFGH的长HG=80cm作铁桶的高，宽HE=60cm作铁桶的底面周长，
则底面半径r=cm，铁桶体积V₂=π•（）²•80=cm³．
因为V₁＞V₂．
所以矩形EFGH的宽HE=60cm作铁桶的高，长HG=80cm作铁桶的底面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大．
点评：本题考查了图形面积的求法、圆柱的体积公式、二次函数的应用等知识点．