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    【题目】已知，△ABC为等边三角形，点D，E为直线BC上两动点，且BD＝CE． 点F，点E关于直线AC成轴对称，连接AE，顺次连接A，D，F．

    （1）如图1，若点D，点E在边BC上，试判断△ADF的形状并说明理由；

    （2）如图2，若点D，点E在边BC外，求证：．

    【答案】（1）△ADF为等边三角形，见解析；（2）见解析

    【解析】

    （1）先根据等边三角形的性质得出，然后证明，得出，再根据对称的性质得出,从而有，则结论可证；

    （2）先根据等边三角形的性质得出，然后证明，得出，再根据对称的性质得出,从而有，则△ADF为等边三角形，则，通过等量代换即可得出答案．

    解：（1）△ADF为等边三角形，理由如下：

    ∵△ABC为等边三角形，

    ∴ ．

    在和中，

    ，

    ．

    ∵点F，点E关于直线AC成轴对称，

    ，

    ．

    ，

    ，

    即 ,

    ∴△ADF为等边三角形．

    （2）∵△ABC为等边三角形，

    ∴ ．

    在和中，

    ，

    ．

    ∵点F，点E关于直线AC成轴对称，

    ，

    ．

    ，

    ，

    ∴△ADF为等边三角形．

    ∵

    ∴

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    【题目】在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．

    （1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；

    （2）如图2，①求证：BP=BF；

    ②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；

    ③当BP=9时，求BEEF的值．

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    【题目】探究

    (1)已知如图1，若AB∥CD，P为平行线内的一点请你判断∠B+∠P+∠D= 度，并说明理由.

    (2)如图2，若AB∥CD ，P1、P2为平行线内的两个点，请求出∠B+∠P1+∠P2+∠D= 度(不需要说明理由)

    (3)如图3，如此类推若AB∥CD，P1、、P2、P3、P4、……Pn为平行线内的n个点，请求出∠B+∠P1+∠P2+∠P3+……．+∠Pn-1+∠Pn+∠D= 度(不需要说明理由)

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图 1，已知线段 AB=12 cm，点 C 为线段 AB 上的一动点（点 C 不与 A，B 重合），点D，E 分别是 AC 和 BC 的中点．

    （1）若点 C 恰好是 AB 的中点，则 DE= cm；

    （2）若 AC=4 cm，求 DE的长；

    （3）试说明当点C在线段 AB 上运动时，DE 的长不变；

    （4）如图 2，已知∠AOB=120°，在∠AOB 的内部任画一条射线 OC．

    ①请分别画出∠AOC 和∠COB 的平分线 OD，OE（不要求尺规作图）；

    ②说明∠DOE 的度数与射线 OC 的位置无关．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】城区某新建住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共300株．已知甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元．

    （1）若购买树苗共用21000元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？

    （2）据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为和，问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的空气净化指数之和等于90？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正确的是（　 　）

    A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

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    ●特例感知

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    ●推广应用

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    A.115°B.120°C.130°D.145°

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