Question

1．直角△ABD和直角△EBC如图放置，使点A、B、C在一条直线上，∠ABD=∠EBC=90°，AB=DB，EB=CB，M、N分别是AE、CD的中点．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）判断BM与BN的关系，并说明理由；
（3）把△EBC绕点B顺时针旋转α°（0＜α＜90），其他条件不变，BM和BN有何关系？直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）求出△ABE≌△DBC，根据全等三角形的性质得出∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和定理求出∠EAB+∠AEB=90°，求出∠DEQ+∠CDB=90°，根据三角形内角和定理求出∠DQE=90°，即可得出答案；
（2）根据全等求出CD=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；
（3）首先证明△CBD≌△EBA可得∠BAE=∠BDC，AE=DC，再根据M，N分别是AE，CD的中点可得DN=AM，然后证明△BMA≌△BND，可得到BM=BN．

解答 （1）证明：
延长AE交CD于Q，
∵在△ABE和△DBC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠EAB=∠CDB，
∵∠ABE=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEQ，
∴∠DEQ+∠CDB=90°，
∴∠DQE=180°-90°=90°，
∴AE⊥CD；

（2）解：BM=BN，
理由是：∵△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，
∵∠ABE=∠DBC=90°，M为AE中点，N为CD中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$AE，BN=$\frac{1}{2}$CD，
∴BM=BN；

（3）
解：BM=BN，
理由是：∵∠ABD=∠EBC=90°，
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，
即∠CBD=∠ABE，
在△CBD和△EBA中$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠CBD=∠EBA}\\{CB=BE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△EBA（SAS），
∴∠BAE=∠BDC，AE=DC，
∵M，N分别是AE，CD的中点，
∴DN=AM，
在△BMA和△BND中$\left\{\begin{array}{l}{AM=DN}\\{∠BDN=∠BAM}\\{BD=BA}\end{array}\right.$
∴△BMA≌△BND（SAS），
∴BM=BN．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，垂直定义，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是掌握判定定理与性质定理．证明三角形全等是证明角相等，线段相等的一种重要的方法，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．