Question

10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为4的正方形，M（4，m）、N（n，4）分别是AB、BC上的两个动点，且ON⊥MN，当OM最小时，m+n=5．

Answer 1

分析 证明△OCN∽△NBM，列比例式得：m=$\frac{1}{4}{n}^{2}-n+4$=$\frac{1}{4}$（n-2）²+3，即当n=2时，m有最小值为3，在Rt△OAM中，因为OA是定值，AM的大小决定OM的大小，由m的最小值计算OM的最小值．

解答 解：由题意得：OA=4，AM=m，OC=4，CN=n，BN=4-n，BM=4-m，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=∠ABC=90°，
∴∠CNO+∠CON=90°，
∵ON⊥MN，
∴∠ONM=90°，
∴∠CNO+∠MNB=90°，
∴∠CON=∠MNB，
∴△OCN∽△NBM，
∴$\frac{OC}{NB}=\frac{CN}{BM}$，
∴$\frac{4}{4-n}$=$\frac{n}{4-m}$，
m=$\frac{1}{4}{n}^{2}-n+4$=$\frac{1}{4}$（n-2）²+3，
即当n=2时，m有最小值为3，
在Rt△OAM中，OA是定值，AM的大小决定OM的大小，
当AM为最小时，OM为最小，
∴当AM=m=3时，OM最小，此时m+n=3+2=5，
故答案为：5．

点评 本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、相似三角形的性质和判定以及二次函数的最值问题，本题与二次函数相结合，利用二次函数的最值来解决直角三角形的斜边的最值问题．