Question

【题目】已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8， 可化为① 或② 或③ ，
解①得﹣ ＜x＜﹣ ，解②得﹣ ≤x≤ ，解③得 ＜x＜ ，
综合得：﹣ ＜x＜ ，即原不等式的解集为{x|﹣ ＜x＜ }．
（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，
当且仅当﹣ ≤x≤ 时，等号成立，即f（x）min=4，
又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣ 或m≥1
【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．