Question

6．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式和点B的坐标；
（2）若将△BOA绕点B逆时针旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A（$\sqrt{3}$，1）代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；根据射影定理求出BC=3，那么B（$\sqrt{3}$，-3）；
（2）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（-$\sqrt{3}$，-1），即可求解．

解答 解：（1）∵点A（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．
∴k=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
∵A（$\sqrt{3}$，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC=$\sqrt{3}$，AC=1，
∵OA⊥OB，
由射影定理得OC²=AC•BC，可得BC=3，B（$\sqrt{3}$，-3），

（2）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：
∵OA⊥OB，OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，AB=4，
∴sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，
∴BO=BD=2$\sqrt{3}$，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，
而BD-OC=$\sqrt{3}$，BC-DE=1，
∴E（-$\sqrt{3}$，-1），
∵-$\sqrt{3}$×（-1）=$\sqrt{3}$，
∴点E在该反比例函数的图象上．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，正确求出解析式是解题的关键．