Question

【题目】定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．

（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；

（2）求M，N两点的坐标；

（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；（2）M（﹣6，0），N（2，0）；（3）存在，点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△PAM的面积有最大值，最大值为．

【解析】

（1）根据定义，只要写出的两个抛物线与x轴有着相同的交点，且a的值为负即可；

（2）在解析式y=mx2+4mx-12m中，令y=0解方程即可求出M，N的横坐标，由此可写出M,N两点的坐标；

（3）先根据“月牙线”的定义，设出抛物线C1的一般式，将A点代入即可求得抛物线C1的解析式，再用含t的代数式表示P点坐标，根据S△PAM=S△PMO+S△PAO-S△AOM即可表示△PAM的面积.可根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时P点坐标.

（1）如图1，

抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”（此题答案不唯一）；

（2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，

当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0，

∵m≠0，

∴x2+4x﹣12＝0，

解得，x1＝﹣6，x2＝2，

∵点M在点N的左边，

∴M（﹣6，0），N（2，0）；

（3）存在，理由如下：

如图2，连接AM，PO，PM，PA，

∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，

∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），

∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3），

∴﹣12n＝﹣3，

∴n＝，

∴抛物线C1的解析式为y＝x2+x﹣3，

∴可设点P的坐标为（t，t2+t﹣3），

∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM

＝×6×（﹣t2﹣t+3）+×3×（﹣t）﹣×6×3

＝﹣t2﹣t，

＝﹣（t+3）2+，

∵﹣＜0，﹣6＜t＜0，

∴根据二次函数的图象和性质知，当t＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△PAM的面积有最大值，最大值为．