Question

1．在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（　　）

• A． ∠OCB=2∠ACB
• B． ∠OAB+∠OAC=90°
• C． AC=2$\sqrt{15}$
• D． BC=4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 A、根据∠OBC=∠AOB即可得出OA∥BC，由平行线的性质即可得出∠OAC=∠ACB，再由等腰三角形的性质即可得出∠OAC=∠OCA，替换后即可得出∠OCB=2∠ACB，结论A正确；B、根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出∠OAB+$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，结合结论A即可得出∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，则△AOE≌△OAE，利用勾股定理即可AF=OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，从而得出AC=2AF=2$\sqrt{15}$，结论C正确；D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，则△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质即可得出AM=$\frac{1}{2}$，OM=AO-AM=$\frac{7}{2}$，由BC∥AO、BM⊥AO、ON⊥BC即可得出四边形MBNO为矩形，再根据矩形的性质以及等腰三角形的性质即可得出BC=2BN=2OM=7，结论D错误．综上即可得出结论．

解答 解：A、∵∠OBC=∠AOB，
∴OA∥BC，
∴∠OAC=∠ACB．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠ACB，
∴∠OCB=2∠ACB，结论A正确；
B、∵OA=OB，
∴∠OAB+∠AOB+∠OBA=180°．
∵∠OAC=$\frac{1}{2}$∠OCB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB+$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，即∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；
C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，如图4所示．
∵OA=OB，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB=∠OAE．
在△AOE和△OAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠OAF}\\{∠AEO=∠OFA}\\{AO=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OAE（AAS），
∴AF=OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴AC=2AF=2$\sqrt{15}$，结论C正确；
D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，如图5所示．
∵∠OAB+∠AOE=90°，∠MAB+∠ABM=90°，
∴∠AOE=∠ABM．
∵∠AEO=∠AMB=90°，
∴△AOE∽△ABM，
∴$\frac{AM}{AE}=\frac{AB}{AO}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$，OM=AO-AM=$\frac{7}{2}$．
∵BC∥AO，BM⊥AO，ON⊥BC，
∴四边形MBNO为矩形，
∴BN=OM=$\frac{7}{2}$．
∵OB=OC，ON⊥BC，
∴BC=2BN=7，结论D错误．
故选D．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．