Question

如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且（x-3）²+|y-4|=0．
（1）求AD和BC的长；
（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；
（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AD=x，BC=y，且（x-3）²+|y-4|=0，
∴AD=3，BC=4．

（2）AD∥BC，
理由是：∵在△AEB中，∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
又∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∴AD∥BC．

（3）能．
如图，过E作EF∥AD，交AB于F，
∵AD∥BC（已证），EF∥AD，
∴AD∥EF∥BC，
则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，
∴AF=EF=FB，
又∵EF∥AD∥BC，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF==，
∴AB=7．
分析：（1）根据题意可知x-3=0，y-4=0，易求解AD和BC的长；（2）根据∠AEB=90°，可得∠EAB+∠EBA=90°，因为EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，则∠DAB+∠ABC=180°，所以AD∥BC；（3）如图，过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，因为EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理易求AB的长．
点评：本题主要考查了平行线的判定和梯形中位线定理，要灵活运用已知条件求解．