Question

18．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为2或3或$\frac{13}{5}$．

Answer 1

分析 分AM=AC、DM=DC、MD=MA三种情况考虑，当AM=AC时，由AC、AB的长度即可得出BM的长度；当DM=DC时，过点D作DE⊥AB于E，通过解直角三角形可得出BE的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出BM的长度；当MD=MA时，设EM=x，则AM=$\frac{5}{2}$-x，利用勾股定理表示出DM²的值，结合MD=MA即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出BM的长度．综上即可得出结论．

解答 解：当AM=AC时，如图1所示．
∵AB=4，AC=2，
∴BE=AB-AE=4-2=2；
当DM=DC时，过点D作DE⊥AB于E，如图2所示．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∠B=30°．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=DM=$\sqrt{3}$．
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{3}$，∠B=30°，∠BED=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
∵DB=DM，DE⊥BM，
∴BM=2BE=3；
当MD=MA时，如图3所示．
∵BE=$\frac{3}{2}$，AB=4，
∴AE=$\frac{5}{2}$．
设EM=x，则AM=$\frac{5}{2}$-x．
在Rt△DEM中，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠DEM=90°，EM=x，
∴DM²=DE²+EM²=$\frac{3}{4}$+x²．
∵MD=MA，
∴$\frac{3}{4}$+x²=（$\frac{5}{2}$-x）²，
解得：x=$\frac{11}{10}$，
∴BM=BE+EM=$\frac{3}{2}$+$\frac{11}{10}$=$\frac{13}{5}$．
综上所述：当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为2或3或$\frac{13}{5}$．
故答案为：2或3或$\frac{13}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及解一元一次方程，分AM=AC、DM=DC、MD=MA三种情况寻找BM的长度是解题的关键．