Question

12．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；
（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）
（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F
求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．

Answer 1

分析 （1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；
（2）①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE，只要证明△EAH≌△EAF，推出EF=HE，再证明∠HBE=90°即可．
②如图4中，连接FM，EN．首先证明△AEN是等腰直角三角形，△AFM是等腰直角三角形，推出AM=$\sqrt{2}$AF，AN=$\sqrt{2}$AE，由S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•AN•sin45°，S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF•sin45°，即可解决问题．

解答 解：（1）解：（1）①当MN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BM=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
②当BN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
综上，BN=$\sqrt{7}$或5；

（2）作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图2所示．

（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．

∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
∵EA=EA，AH=AD，
∴△EAH≌△EAF，
∴EF=HE，
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，
∴∠HBE=90°，
在Rt△BHE中，HE²=BH²+BE²，
∵BH=DF，EF=HE，
∵EF²=BE²+DF²，
∴E、F是线段BD的勾股分割点．

②证明：如图4中，连接FM，EN．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，
∴△AFE∽△DFN，
∴∠AEF=∠DNF，$\frac{AF}{DF}$=$\frac{EF}{FN}$，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{DF}{FN}$，∵∠AFD=∠EFN，
∴△AFD∽△EFN，
∴∠DAF=∠FEN，
∵∠DAF+∠DNF=90°，
∴∠AEF+∠FEN=90°，
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM=$\sqrt{2}$AF，AN=$\sqrt{2}$AE，
∵S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•AN•sin45°，
S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF•sin45°，
∴$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△AEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}AM•AN•sin45°}{\frac{1}{2}AE•AF•sin45°}$=2，
∴S_△AMN=2S_△AEF．

点评 本题是三角形综合题目，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，本题难度较大，综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．