Question

2．（1）设n是给定的正整数，化简：$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}-1$；
（2）计算：$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}+$…$+\sqrt{1+\frac{1}{{9}^{2}}+\frac{1}{1{0}^{2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据完全平方公式，可得1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=[1+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{1+n}$）]²，根据开方运算，可得$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（1+n）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）根据$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（1+n）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，可化简二次根式，根据分式的加减运算，可得答案．

解答 解：（1）∵1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=1+[$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{（n+1）^{\;}}$]²+2$\frac{1}{n（n+1）}$
=1+2[$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$]+[$\frac{1}{n}$-（$\frac{1}{1+n}$）]²
=[1+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{1+n}$）]²，
$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（1+n）^{2}}}$-1=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$-1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}+$…$+\sqrt{1+\frac{1}{{9}^{2}}+\frac{1}{1{0}^{2}}}$
=1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…1+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=10-$\frac{1}{10}$
=9$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，利用完全平方公式得出1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=[1+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{1+n}$）]²是解题关键．