Question

1．在Rt△ABC中，P为AB上任意一点，EP⊥CP．

（1）如图1，AE⊥AB于A，交AC于F，
①求证：△AEF∽△BPC；
②如图2，若AC=2BC，$\frac{AP}{BP}=\frac{2}{3}$，求证：FC=2AF；
（2）如图3，AM∥BC，若AM=AP=2，AC=4，求PM的长．

Answer 1

分析 （1）①根据相似三角形判定的方法，判断出∠EAF=∠PBC、∠EFA=∠PCB，即可判断出△AEF∽△BPC．
②过点C作CG⊥AB于G，设BG=a，由勾股定理可求出AB的长，再利用已知条件可求出FC和AF的长，进而可证明FC=2AF；
（2）首先根据AM∥BC，可得$\frac{AM}{BD}=\frac{AP}{BP}$，再根据AM=AP，可得BD=BP；然后判断出BC=BP，在Rt△ABC中，根据勾股定理，求出BP的值是多少，在△ACP中，由余弦定理，求出CP²的值是多少；最后在Rt△CMP中，根据勾股定理，求出PM的长是多少即可．

解答 （1）①证明：如图1，，
∵AE⊥AB，
∴∠EAF+∠BAC=90°，
又∵∠PBC+∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠PBC，
∵EP⊥CP，
∴∠CFP+∠FCP=90°，
又∵∠PCB+∠FCP=90°，
∴∠CFP=∠PCB，
∵∠EFA=∠CFP，
∴∠EFA=∠PCB，
在△AEF和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠PBC}\\{∠EFA=∠PCB}\end{array}\right.$，
∴△AEF∽△BPC；
②证明：如图2，过点C作CG⊥AB于G，设BG=a，
∵tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=2，
∴CG=2a，
在Rt△BGC中，BC²=BG²+GC²，
∴BC=$\sqrt{5}$a，AC=2$\sqrt{5}$a，
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，
∴AB=5a，
∵$\frac{AP}{BP}$=$\frac{2}{3}$，
∴AP=2a，PG=2a，PB=3a，
∴PG=CG，
∴∠CPG=∠APE=∠E=45°，
∴AE=AP=2a，
由（1）得$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BP}=\frac{2}{3}$，
∴AF=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$a，CF=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a，
∴FC=2AF；
（2）解：如图3，MP和CB的延长线交于点D，，
∵AM∥BC，
∴$\frac{AM}{BD}=\frac{AP}{BP}$，
∵AM=AP，
∴BD=BP，
∴∠BDP=∠BPD，
∵MP⊥CP，
∴∠BDP+∠BCP=90°，
又∵∠BPD+∠BPC=90°，
∴∠BCP=∠BPC，
∴BC=BP，
设BC=BP=x，
则（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，
∴AB=AP+BP=2+3=5，
∴cos∠CAP=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
在△ACP中，由余弦定理，可得，
CP²=AP²+AC²-2AP•AC•cos∠CAP，
=2²+4²-2×2×4×$\frac{4}{5}$，
=7.2，
∵AC⊥BC，AM∥AC，
∴AM⊥AC，
∴CM²=AC²+AM²=4²+2²=16+4=20，
在Rt△CMP中，
∵PM²=CM²-CP²=20-7.2=12.8，
∴PM=$\sqrt{12.8}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似形的综合题，用到的知识点有相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的判定和性质、余弦定理的运用，锐角三角函数的定义，题目的综合性较强，难度较大，对学生的计算能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．