Question

如图，点F是△ABC的AC边中点，过点A作BC的平行线，与∠ABC的平分线相交于点D，E为BD的中点．
试探究：（1）AE与BD的位置关系，并给予证明；
（2）EF、AB、BC之间的数量关系，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等及角平分线的性质，可得△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一，即可证得；
（2）易证△AED≌△GEB（ASA），则AD=GB，AE=GE，EF是△ACG的中位线，则EF=

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GC，又GC=BC-AB，即可得出EF=

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（BC-AB）．

解答：解：（1）AE⊥BD；
证明：∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
则∠D=∠ABD，
∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形，
又∵E是BD的中点，
∴AE⊥BD（三线合一）；

（2）EF=

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（BC-AB）；
证明：延长AE交BC于点G，（或延长DF）（5分）
由（1）知∠D=∠EBG，
∵E是BD中点，
∴BE=DE，
又∵∠AED=∠GEB，
∴△AED≌△GEB（ASA），
∴AD=GB，AE=GE，
又∵F为AC中点，
∴EF是△ACG的中位线，
则EF=

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GC，
∵GC=BC-GB=BC-AD，由（1）知AD=AB，
∴GC=BC-AB，
∴EF=

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（BC-AB）．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．