Question

12．如图，已知以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AD的长为2$\sqrt{7}$，∠EAC=60°，求
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积（保留π及根号）

Answer 1

分析 （1）连接FO，根据三角形的中位线的性质得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据平行线的性质得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论；
（2）①设⊙O的半径为r，解直角三角形得到CD=$\sqrt{3}$r，根据勾股定理列方程即可得到结论；②根据已知条件得到BC=4$\sqrt{3}$，∠B=30°，由于AC是⊙O的直径，得到CE⊥AB，于是得到S_△EFC=$\frac{1}{2}$S_△BCE=6$\sqrt{3}$，求得S_△CEO=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：如图，连接FO，
∵F为BC的中点，AO=CO，
∴OF∥AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，
∴OF⊥CE，
∴OF所在直线垂直平分CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，
即：∠0CE+∠FCE=90°，
∴∠0EC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，
∴FE为⊙O的切线；

（2）解：①设⊙O的半径为r，
∴AO=CO=EO=r，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，
∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=r，
∴CD=$\sqrt{3}$r，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
∴AC²+CD²=AD²，
即（2r）²+（$\sqrt{3}$r）²=（2$\sqrt{7}$）²，
∴r=2，
∴⊙O的半径是2；
②∵∠BAC=60°，AC=4，
∴BC=4$\sqrt{3}$，∠B=30°，
∵AC是⊙O的直径，
∴CE⊥AB，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴BE=6，
∴S_△EFC=$\frac{1}{2}$S_△BCE=3$\sqrt{3}$，
∵S_△CEO=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_{四边形EFCO}-S_扇形=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$-$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，证得△AOE是等边三角形是解题的关键．