Question

正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．

（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=

3

，求证：AE∥BF．
（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试猜想：AE²+AF²=2BF²是否成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，试举一反例说明．

Answer 1

分析：（1）由条件可以得出△BFE是直角三角形，就有∠BFC=90°，由旋转可得∠EBF=∠AEB=90°，就有∠AEB+∠EBF=180°，从而得出结论．
（2）利用正方形的性质以及旋转的性质得出∠EAF=90°，进而利用勾股定理得出AE²+AF²=2BF²．

解答：（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC
在△BFC中，
∵BF²+FC²=1²+（

3

）²=4，
BC²=2²=4
∴BF²+FC²=BC²
∴∠BFC=90°，
∴∠AEB+∠EBF=180°，
∴AE∥BF；

（2）解：AE²+AF²=2BF²成立；
理由：∵AC是正方形ABCD的角平分线，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
∴∠EAF=45°+45°=90°，
∴AE²+AF²=EF²，
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∴2BF²=EF²，
∴AE²+AF²=2BF²．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理、勾股定理的逆定理的运用，旋转的性质，平行线的判定，在解答的过程中要注意旋转过程中的不变量的运用．