【题目】如图(1),在矩形DEFG中,DE=3,EG=6,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,AC=6,△ABC的一边BC和矩形的一边DG在同一直线上,点C和点D重合,Rt△ABC将从D以每秒1个单位的速度向DG方向匀速平移,当点C与点G重合时停止运动,设运动时间为t秒,解答下列问题:
(1)如图(2),当AC过点E时,求t的值;
(2)如图(3),当AB与DE重合时,AC与EF、EG分别交于点M、N,求CN的长;
(3)在整个运动过程中,设Rt△ABC与△EFG重叠部分面积为y,请求出y与t的函数关系式,并写出相应t的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】分析:(1)当AC过点E时,△ABC∽△EDC,然后根据相似三角形的对应边成比例列比例方程可求出CD的值;
(2)由勾股定理求得DG=3,由sin∠EGD=可求得∠EGD=30°,进而可求∠CNG=30°,根据等角对等边可知NC=CG,从而结论可求;
(3)由(1)可知,当x>时,△ABC与△EFG有重叠部分.分①当<t≤3时,y=S△EMN,②当3<t≤3时,y=S△EMN﹣S△EPQ,两种情况求解.
详解:(1)如图(2),当AC过点E时,
在Rt△ABC中,BC=3,AC=6,
∴BC所对锐角∠A=30°,
∴∠ACB=60°,
依题意可知∠ABC=∠EDC=90°,
∵∠ACB=∠ECD,
∴△ABC∽△EDC,
∴,即,
∴CD=,
∴t=CD= ;
(2)如图(3),∵∠EDG=90°,DE=3,EG=6,
∴DG===3,
在Rt△EDG中,sin∠EGD===,
∴∠EGD=30°,
∵∠NCB=∠CNG+∠EGD,
∴∠CNG=∠NCB﹣∠EGD=60°﹣30°=30°,
∴∠CNG=∠EGD,
∴NC=CG=DG﹣BC=3﹣3;
(3)由(1)可知,当x>时,△ABC与△EFG有重叠部分.
分两种情况:
①当<t≤3时,如图(4),△ABC与△EFG有重叠部分为△EMN,设AC与EF、EG分别交于点M、N,过点N作直线NP⊥EF于P,交DG于Q,
则∠EPN=∠CQN=90°,
∵NC=CG,
∴NC=DG﹣DC=3﹣t,
在Rt△NQC中,NQ=sin∠NCQ×NC=sin60°×(3﹣t)=,
∴PN=PQ﹣NQ=3﹣=,
∵∠PMN=∠NCQ=60°,
∴sin∠PMN=,MN==×=t﹣,
在矩形DEFG中,EF∥DG,
∴∠MEN=∠CGN,
∵∠MNE=∠CNG,∠CNG=∠CGN,
∴∠EMN=∠MNE,
∴EM=MN,
∴EM=MN=t﹣,
∴y=S△EMN=EMPN=××=﹣;
②当3<t≤3时,如图(5),△ABC与△EFG重叠部分为四边形PQNM,设AB与EF、EG分别交于点P、Q,AC与EF、EG分别交于点M、N,则∠EPQ=90°,
∵CG=3﹣t,
∴S△EMN=﹣t+,
∵EP=DB=t﹣3,∠PEQ=30°,
∴在Rt△EPQ中,PQ=tan∠PEQ×EP=tan30°×(t﹣3)=,
∴S△EPQ=EPPQ=(t﹣3)×=,
∴y=S△EMN﹣S△EPQ=(﹣t+)﹣()=+(﹣)t﹣,
综上所述,y与t的函数关系式:y=.
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【题目】如图,在直角坐标平面内,函数(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连接AD,DC,CB.
(1)若△ABD的面积为4,求点B的坐标;
(2)求证:DC∥AB;
(3)当AD=BC时,求直线AB的函数解析式.
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【题目】丁丁家买了一套安置房,地面结构如图所示.
(1)写出用含x、y的式子表示地面的总面积;
(2)如果x=4 m,y=1.5 m,铺1 m2地砖的平均费用为80元,求铺地砖的总费用.
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【题目】文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元,甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍,若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元?
(2)书店为了让利读者,决定甲种图书售价每本降低3元,乙种图书售价每本降低2元,问书店应如何进货才能获得最大利润?(购进的两种图书全部销售完.)
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【题目】小王家新买的一套住房的建筑平面图如图所示(单位:米).
(1)这套住房的建筑总面积是多少平方米?(用含a,b,c的式子表示)
(2)若a=10,b=4,c=7,试求出小王家这套住房的具体面积.
(3)地面装修要铺设瓷砖,公司报价是:客厅地面每平方米240元,卧室地面每平方米220元,厨房地面每平方米180元,卫生间地面每平方米150元.在(2)的条件下,小王一共要花多少钱?
(4)这套住房的售价为每平方米15000元,购房时首付款为房价的40%,余款向银行申请贷款,在(2)的条件下,小王家购买这套住房时向银行申请贷款的金额是多少元?
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【题目】某同学在用描点法画二次函数的图象时,列出下面的表格:
x | |||||||
y |
根据表格提供的信息,有下列结论:
该抛物线的对称轴是直线;;该抛物线与y轴的交点坐标为;若点是该抛物线上一点,则其中错误的个数是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】某商店购进甲、乙两种商品,已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元,用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同.
(1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元?
(2)计划购买这两种商品共50件,且投入的经费不超过3200元,那么,最多可购买多少件甲种商品?
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【题目】某数学兴趣小组对函数y=x+的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | - | - | 1 | 2 | 3 | … | ||
y | … | - | m | ﹣2 | - | - | 2 |
| … |
(1)自变量x的取值范围是 ,m= .
(2)根据(1)中表内的数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,画出函数图象的一部分,请你画出该函数图象的另一部分.
(3)请你根据函数图象,写出两条该函数的性质;
(4)进一步探究该函数的图象发现:
①方程x+=3有 个实数根;
②若关于x的方程x+=t有2个实数根,则t的取值范围是 .
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