Question

19、（1）已知，如图①，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF；
（2）已知，如图②，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A．连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E．连接BE、BD，∠ABD=30°，求∠EBO和∠C的度数．

Answer 1

分析：（1）先证明△BCF≌△DAE，再利用全等三角形的性质可得出：AE=CF；
（2）先求出∠EBO，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可求出∠AOC，从而求出∠C的度数．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠ADE=∠FBC．（1分）
在△ADE和△CBF中，
∵AD=BC，∠ADE=∠FBC，DE=BF，
∴△ADE≌△CBF．（2分）
∴AE=CF．（3分）

（2）解：∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE=90°．（1分）
∵∠ABD=30°，
∴∠EBO=∠DBE-∠ABD=90°-30°=60°．（2分）
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAO=90°．（3分）
又∠AOC=2∠ABD=60°，
∴∠C=180°-∠AOC-∠CAO=180°-60°-90°=30°．（4分）

点评：利用了全等三角形的判定和性质，以及切线的性质、圆的直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍．