Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点N，使S⊿ABN=S⊿ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3；(2) M(1,-2)；(3) ，（1，-4）.

【解析】

（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；

（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，连接BC得出M点位置，即为符合条件的M点；

（3）根据题意可知OC=3，要使S⊿ABN=S⊿ABC，则三角形ABN的高为4，即N点的纵坐标为±4，设点N的坐标为（x，±4），代入函数解析式求解即可得出N点的坐标.

解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：

解得：

故抛物线的解析式：y=x2-2x-3．

（2）如图所示：连接BC，交直线l于点M，此时点M到点A，点C的距离之和最短，

设直线BC的解析式为：y=kx+d，则

解得：

故直线BC的解析式为：y=x-3，
∵x=-=1，
∴x=1时，y=1-3=-2，
故M（1，-2）；

（3）存在，理由如下：

点C（0，－3），

∴OC=3，即三角形ABC的高为3

要使S⊿ABN=S⊿ABC，则三角形ABN的高为4，即N点的纵坐标为±4，

设N为（x，±4）

所以当y=4时，有x2-2x-3=4即x2-2x-7=0，解得

当y=-4时，有x2-2x-3=-4即x2-2x+1=0，解得x=1

所以N点的坐标为，（1，-4）