【题目】如图,是的直径,点,是上两点,且,连接,,过点作交延长线于点,垂足为.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求的半径.
【答案】(1)见解析;(2)圆O 的半径为8
【解析】
(1)连结OC,由根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC,而∠OAC=∠OCA,则∠FAC=∠OCA,可判断OC∥AF,由于CD⊥AF,所以OC⊥CD,然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线;
(2)连结BC,由AB为直径得∠ACB=90°,由得∠BOC=60°,则∠BAC=30°,所以∠DAC=30°,在Rt△ADC中,利用含30度的直角三角形三边的关系得,在Rt△ACB中,利用含30度的直角三角形三边的关系得 AB=2BC=8,从而求出⊙O的半径.
解:(1)证明:连结OC,如图
∵弧FC=弧BC
∴∠FAC=∠BAC,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠FAC=∠OCA,∴0C // AF,
∵CD⊥AF,∴0C⊥CD,
∴CD是圆O的切线;
(2)连结BC,如图,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,∵,
∴∠BOC= ×180°=60°,∴∠BAC=30,
∴∠DAC=30,在RtΔADC中,CD=,
∴AC=2CD=,在RtΔACB中,BC=AC==8,
∴AB=2BC=16,∴圆O 的半径为8.
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【题目】小明发现相机快门打开过程中,光圈大小变化如图1所示,于是他绘制了如图2所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形,若PQ所在的直线经过点M,PB=5cm,小正六边形的面积为cm2,则该圆的半径为________cm.
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【题目】2019年12月17日,我国第一艘国产航母“山东舰”在海南三亚交付海军.如图,“山东舰”在一次试水测试中,航行至处,观测指挥塔位于南偏西方向,在沿正南方向以30海里/小时的速度匀速航行2小时后,到达处,再观测指挥塔位于南偏西方向,若继续向南航行.求“山东舰”与指挥塔之间的最近距离为多少海里?(结果保留根号)
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣(x﹣m)2+4(m>0)的顶点为A,与直线x=相交于点B,点A关于直线x=的对称点为C.
(1)若抛物线y=﹣(x﹣m)2+4(m>0)经过原点,求m的值.
(2)点C的坐标为 .用含m的代数式表示点B到直线AC的距离为 .
(3)将y=﹣(x﹣m)2+4(m>0,且x≥)的函数图象记为图象G,图象G关于直线x=的对称图象记为图象H.图象G与图象H组合成的图象记为图象M.
①当图象M与x轴恰好有三个交点时,求m的值.
②当△ABC为等腰直角三角形时,直接写出图象M所对应的函数值小于0时,自变量x的取值范围.
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【题目】如图,已知⊙O 的半径长为2,点C为直径AB的延长线上一点,且BC=2.过点C任作一条直线l.若直线l上总存在点P,使得过点P所作的⊙O 的两条切线互相垂直,则∠ACP的最大值等于__________°.
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【题目】如图,抛物线y= x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2) 请你在抛物线的对称轴上找点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形,所有符合条件的点P的坐标分别为 ;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
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【题目】一只箱子里共有3个球,其中2个白球,1个红球,它们除颜色外均相同。
(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少?
(2)从箱子中任意摸出一个球,不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出球的都是白球的概率,并画出树状图。
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【题目】在平面直角坐标系中,对“隔离直线”给出如下定义:点是图形上的任意一点,点是图形上的任意一点,若存在直线:满足且,则称直线:是图形与的“隔离直线”,如图,直线:是函数的图像与正方形的一条“隔离直线”.
(1)在直线①,②,③,④中,是图函数的图像与正方形的“隔离直线”的为 .
(2)如图,第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行,直角顶点的坐标是,⊙O的半径为,是否存在与⊙O的“隔离直线”?若存在,求出此“隔离直线”的表达式:若不存在,请说明理由;
(3)正方形的一边在轴上,其它三边都在轴的左侧,点是此正方形的中心,若存在直线是函数的图像与正方形的“隔离直线”,请直接写出的取值范围.
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