Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB2=PCPA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，

∴∠ACB=∠ABP=90°，

∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，

∴∠BAC=∠CBP

（2）解：∵∠PCB=∠ABP=90°，

∠P=∠P，

∴△ABP∽△BCP，

∴ ，

∴PB2=PCPA

（3）解：∵PB2=PCPA，AC=6，CP=3，

∴PB2=9×3=27，

∴PB=3 ，

∴sin∠PAB= = = ．

【解析】（1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据三角函数的定义即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．