Question

18．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与CD相交于F，试探究△CEF的形状并说明理由．

Answer 1

分析 把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然后可以证明△AGB与△CGB全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，所以△AGC为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出∠CEF=∠CFE=75°，从而得解．

解答 解：△CEF是等腰三角形，理由如下：
如图所示，顺时针旋转△ADE90°得到△ABG，连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵DE∥AC，
∴∠CDE=∠ACD=45°，
∴∠ADE=90°+45°=135°，
∵∠ABG=∠ADE=135°，
∴B，G，D在一条直线上，
∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°，
在△AGB与△CGB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABG=∠CBG}&{\;}\\{BG=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△CGB（SAS），
∴AG=AC=GC=AE，
∴△AGC为等边三角形，
∵AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），
∴∠AGB=30°，
∴∠EAC=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，
∴∠EFC=∠AEC，
∴CE=CF，
即△CEF是等腰三角形．

点评 本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，根据旋转变换构造出图形是解题的关键．