Question

2．如图，AB∥CD，MN⊥AB于M．
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若E为直线MN左侧的一点，连接EM、EN，∠AME=20°，∠CNE=40°，
①求∠MEN
②分别过M、N两点作射线交直线MN的左侧于点F，且∠AMF=n∠AME，∠CNF=n∠CNE，当∠MFN=$\frac{1}{2}$∠MEN时，n=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到MN⊥CD；
（2）①过E作EG∥AB，根据平行线的性质即可得出∠AME=∠GEM=20°，∠CNE=∠GEN=40°，据此可得∠MEN的度数；
②分三种情况讨论：点F在AB，CD之间，点F在AB上方，点F在CD下方，分别根据平行线的性质进行计算即可．

解答 解：（1）∵MN⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∵AB∥CD，
∴∠CNM=90°，
∴MN⊥CD；
（2）①如图，过E作EG∥AB，

∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥CD，
∴∠AME=∠GEM=20°，∠CNE=∠GEN=40°，
∴∠MEN=20°+40°=60°；

②如图，当点F在AB，CD之间时，

∵∠MFN=$\frac{1}{2}$∠MEN=30°，
∴∠AMF+∠CNF=30°，
又∵∠AMF=n∠AME，∠CNF=n∠CNE，
∴n∠AME+n∠CNE=30°，即n（∠AME+∠CNE）=30°，
∴n×60°=30°，
∴n=$\frac{1}{2}$；
如图，当点F在AB上方时，

∵∠MFN=$\frac{1}{2}$∠MEN=30°，
∴∠CNF-∠AMF=30°，
又∵∠AMF=n∠AME，∠CNF=n∠CNE，
∴n∠CNE-n∠AME=30°，即n（∠CNE-∠AME）=30°，
∴n×20°=30°，
∴n=$\frac{3}{2}$；
当点F在CD下方时，n的值不合题意．
综上所述，n的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导．解题时注意分类思想的运用．