Question

11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm，点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上．设运动时间为x（s），半圆O在△ABC的重叠部分的面积为S（cm²）．
（1）当x=6（s）时，点O与线段BC的中点重合；
（2）在（1）的条件下，求半圆O与△ABC的重叠部分的面积S；
（3）当x为何值时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切？

Answer 1

分析 （1）根据时间=路程÷速度，即可解决问题．
（2）如图1中，设⊙O与AB交于点H，连接OH，CH．首先证明△CHB是等腰直角三角形，根据S=S_扇形OHC+S_△OHB计算即可．
（3）分两种情形讨论即可①⊙O与直线AC相切．②⊙O与直线AB相切，分别求出时间即可．

解答 解：（1）如图1中，当点O在AB的中点时，x=$\frac{12}{2}$=6s．

故答案为6s．

（2）如图1中，设⊙O与AB交于点H，连接OH，CH．
∵BC是直径，
∴∠CHB=90°，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠HBC=∠HCB=45°，
∴HC=HB，
∴OH⊥BC，OH=OB=OC=6，
∴S=S_扇形OHC+S_△OHB=$\frac{1}{4}$•π•6²+$\frac{1}{2}$•6•6=18+9π．

（3）如图2中，当⊙O与AB相切时（点O在点B左侧），易知OH=BH=6，OB=6$\sqrt{2}$，OC=12-6$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{6+12-6\sqrt{2}}{2}$=9-3$\sqrt{2}$．

如图3中，当⊙O与AB相切时（点O在点B右侧），易知OH=BH=6，OB=6$\sqrt{2}$，OC=12+6$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{6+12+6\sqrt{2}}{2}$=9+3$\sqrt{2}$．


如图1中，x=6时，⊙O与AC相切．
综上所述，当x=0或（9-3$\sqrt{2}$）或6或（9+3$\sqrt{2}$）s时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切．

点评 本题考查圆综合题、平移变换、切线的判定和性质、等腰直角三角形的性质等扇形的面积公式知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．