Question

1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（0，a），B（b，a），且实数a，b满足（a-3）²+|b-5|=0，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S_△MCD=S_{四边形ABDC}？若存在这样一点，求出点M的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由偶次方及绝对值的非负性可求出a、b的值，进而即可得出点A、B的坐标，再根据平移的性质可得出点C、D的坐标以及四边形ABDC为平行四边形，套用平行四边形的面积公式即可求出四边形ABDC的面积；
（2）设存在点M（0，y），根据三角形的面积结合S_△MCD=S_{四边形ABDC}，即可得出关于y的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵（a-3）²+|b-5|=0，
∴a=3，b=5，
∴点A（0，3），B（5，3）．
将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到点C、D，
∴点C（-1，0），D（4，0）．
由AB平移得出CD可知，AB∥CD，且AB=CD=5，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴S_{四边形ABDC}=5×3=15．

（2）设存在点M（0，y），
根据题意得：S_△MCD=$\frac{1}{2}$×5|y|=S_{四边形ABDC}=15，
∴$\frac{1}{2}$×5|y|=15，解得：y=±6，
∴存在点M（0，6）或（0，-6），使S_△MCD=S_{四边形ABDC}．

点评 本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积、平行四边形的面积、平移以及解含绝对值符合的一元一次方程，解题的关键是：（1）根据平移的性质找出点C、D的坐标以及四边形ABDC为平行四边形；（2）根据三角形的面积结合S_△MCD=S_{四边形ABDC}，列出关于y的含绝对值符号的一元一次方程．