Question

如图（1）至图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点B、C、E在同一条直线上。

（1）已知：如图（1），AC=AB，AD=AE。
求证：①CD=BE；②CD⊥BE；
（2）如图（2），当AB=kAC，AE=kAD（k≠1）时，分别说出（1）中的两个结论是否成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

解：（1）如图（1）， ∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠CAD=∠BAE， 在△ACD和△ABE中，AC=AB，AD=AE， ∴△CAD≌△BAE， ∴CD=BE， ∴∠ACD=∠ABE， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABE+∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠ACB=90°， 即CD⊥BE； （2）如图（2），①不成立； 理由如下： ∵AB=kAC，AE=kAD， ∴， 又∠BAC=∠DAE， ∴∠DAC=∠EAB， ∴△ACD∽△ABE， ∴，∠ACD=∠ABE， ∵AB=kAC， ∴BE=kCD， ∵k≠1， ∴BE≠CD， ∴①不成立； ②成立， 由上可知，∠ACD=∠ABE， 又∠BAC=90°， ∴∠ABE+∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠ACB=90°， 即CD⊥BE，即②成立。