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    1．在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：
    ①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
    那么，当AM∥BN时：
    （1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；
    （2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32$\sqrt{3}$，求AQ的长．

    分析 点点的两个结论：①利用三角形的角平分线和三角形的内角和即可得出结论；
    ②先判断出△PAG≌△PAF（SAS）得出∠AFP=∠AGP，结合同角的补角相等即可得出∠BGP=∠BEP，进而判断出△BPG≌△BPE（AAS），即可得出结论；
    （1）由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA，从而得到∠APB=90°，最后用等边对等角，即可．
    （2）先根据条件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分两种情况讨论计算．

    解答 解：点点的结论：①∵∠ACB=60°，
    ∴∠BAC+∠ABC=120°，
    ∵∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，
    ∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠PBA）=60°，
    ∴∠APB=120°，
    ②如图，在AB上取一点G，使AG=AF，
    ∵AE是∠BAM的角平分线，
    ∴∠PAG=∠PAF，
    在△PAG和△PAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠PAF=∠PAB}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
    ∴△PAG≌△PAF（SAS），
    ∴∠AFP=∠AGP，
    ∵∠EPF=∠APB=120°，∠ACB=60°，
    ∴∠EPF+∠ACB=180°，
    ∴∠PFC+∠PEC=180°，
    ∵∠PFC+∠AFP=180°，
    ∴∠PEC=∠AFP，
    ∴∠PEC=∠AGP，
    ∵∠AGP+∠BGP=180°，
    ∴∠PEC+∠BGP=180°，
    ∵∠PEC+∠PEB=180°，
    ∴∠BGP=∠BEP，
    ∵BF是∠ABC的角平分线，
    ∴∠PBG=∠PBE，
    在△BPG和△BPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGP=∠BEP}\\{∠PBG=∠PBE}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
    ∴△BPG≌△BPE（AAS），
    ∴BG=BE，
    ∴AF+BE=AB．
    （1）原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），
    理由：∵AM∥BN，
    ∴∠MAB+∠NBA=180°，
    ∵AE，BF分别平分∠MAB，NBA，
    ∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠MAB，∠FBA=$\frac{1}{2}$∠NBA，
    ∴∠EAB+∠FBA=$\frac{1}{2}$（∠MAB+∠NBA）=90°，
    ∴∠APB=90°，
    ∵AE平分∠MAB，
    ∴∠MAE=∠BAE，
    ∵AM∥BN，
    ∴∠MAE=∠BAE，
    ∴∠BAE=∠BEA，
    ∴AB=BE，
    同理：AF=AB，
    ∴AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）；
    （2）如图1，

    过点F作FG⊥AB于G，
    ∵AF=BE，AF∥BE，
    ∴四边形ABEF是平行四边形，
    ∵AF+BE=16，
    ∴AB=AF=BE=8，
    ∵32$\sqrt{3}$=8×FG，
    ∴FG=4$\sqrt{3}$，
    在Rt△FAG中，AF=8，
    ∴∠FAG=60°，
    当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，
    当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，
    ①如图2，

    当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，
    ∴PB=4，PA=4$\sqrt{3}$，
    ∵BQ=5，∠BPA=90°，
    ∴PQ=3，
    ∴AQ=4$\sqrt{3}$-3或AQ=4$\sqrt{3}$+3．
    ②如图3，

    当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°，
    ∴PB=4$\sqrt{3}$，
    ∵PB=4$\sqrt{3}$＞5，
    ∴线段AE上不存在符合条件的点Q，
    ∴当∠FAB=60°时，AQ=4$\sqrt{3}$-3或4$\sqrt{3}$+3．

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理计算线段．

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    A．1个B．2个C．3个D．4个

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    （1）试说明BD′平分∠ABC；
    （2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；
    （3）直接写出点D′到BC的距离$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$cm．

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