Question

【题目】在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．

（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC

（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：　 　（不写证明过程）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD＝AD+BD，理由见解析；（3）CD＝AD+BD

【解析】

（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；

（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝AD，可得结论；

（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，即可解决问题；

证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

（2）CD＝AD+BD，

理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

∴BD＝CE，

∵∠BAC＝90°，AD＝AE，

∴DE＝AD，

∵CD＝DE+CE，

∴CD＝AD+BD；

（3）作AH⊥CD于H．

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

∴BD＝CE，

∵∠DAE＝120°，AD＝AE，

∴∠ADH＝30°，

∴AH＝AD，

∴DH＝＝AD，

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE，

∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，

故答案为：CD＝AD+BD．