Question

13．如图1，正方形ABCD中，点E是CD的延长线上一点，将△ADE沿AE对折至△AFE，FE的延长线与BC的延长线交于点G，连接AG．

（1）求证：AG平分∠FAB；
（2）如图2，GB的延长线交FA的延长线于点H，试探究线段DE、AH、BH三者之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）要证明AG平分∠FAB，只要证明△AFG≌△ABG即可，根据题目中的信息，可以得到两个三角形全等的条件，从而可以证明结论成立；
（2）可以通过旋转将DE和BH放在同一条直线上，根据题目中的信息可以得到线段DE、AH、BH三者之间的数量关系．．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B=∠ADC=∠ADE=90°，
∵△AEF是由△AED翻折得到，
∴AF=AD，∠F=∠ADE=90°，
∴AF=AB，∠F=∠B=90°，
在Rt△AFG和Rt△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AB}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFG≌Rt△ABG（HL），
∴∠FAG=∠BAG，
∴AG平分∠FAB；
（2）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∴∠ADE=∠ABM=90°，∠EAM=90°，DE=BM，
∴∠FAE+∠HAM=90°，
∵△AEF是由△AED翻折得到，
∴∠FAE=∠EAD，DE=EF，
∴∠DAM=∠HAM，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMH，
∴∠HAM=∠AMH，
∴HA=HM，
∵HM=BH+BM，BM=DE，
∴AH=BH+DE．

点评 本题考查翻折变化、正方形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．