Question

11．已知四边形ABCD为菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段BC的中点时，请直接写出线段AE、EF、AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段BC上的任意一点（点E不与点B、C重合）时，求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB上的延长线上，且∠EAB=15°时，求线段FD的长．

Answer 1

分析 （1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，得到CF，根据线段的和差即可得到结论．

解答 （1）解：结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF．

（2）证明：连接AC，如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{BA=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF；

（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在Rt△AGB中，
∵∠ABC=60°，AB=4，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=2，AG=$\sqrt{3}$BG=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AEG中，
∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2$\sqrt{3}$，
∴EB=EG-BG=2$\sqrt{3}$-2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2$\sqrt{3}$-2，
∴DF=CF+CD=2$\sqrt{3}$-2+4=2$\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．