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(2007•南宁)如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(8,0),以AB为直径的半圆与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD.
(1)求C,M两点的坐标;
(2)连接CM,试判断直线CM是否与⊙P相切?说明你的理由;
(3)在x轴上是否存在一点Q,使得△QMC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)依题意推出AB=BC=CD=AD,连接PM,根据勾股定理求出OM的值后可求出点M的坐标;
(2)本题有多种方法解答.首先连接PC,CM,根据勾股定理先求出CM的值,然后证明△CMP≌△CPB即可证得∠CMP=∠CBP=90°;
(3)本题有几种解法,符合题意即可,首先作M点关于x轴的对称点M',连接M'C,根据题意可知QM+QC的和最小,因为MC为定值,故△QMC的周长最小,证明△M'OQ∽△M'EC,利用线段比求出OQ的值.
解答:解:(1)∵A(-2,0),B(8,0),四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=10,⊙P的半径为5,(1分)
C(8,10),(2分)
连接PM,PM=5,在Rt△PMO中,
∴M(0,4);(3分)

(2)方法一:直线CM是⊙P的切线.(4分)
证明:连接PC,CM,如图(1),
在Rt△EMC中,(5分)
∴CM=CB
又∵PM=PB,CP=CP
∴△CPM≌△CPB(6)
∴∠CMP=∠CBP=90°
CM是⊙P的切线;(7分)

方法二:直线CM是⊙P的切线.(4分)
证明:连接PC,如图(1),在Rt△PBC中,
PC2=PB2+BC2=52+102=125(5分)
在Rt△MEC中
∴CM2=CE2+ME2=82+62=100(6分)
∴PC2=CM2+PM2
∴△PMC是直角三角形,即∠PMC=90°
∴直线CM与⊙P相切.(7分)

方法三:直线CM是⊙P的切线.(4分)
证明:连接MB,PM如图(2),
在Rt△EMC中,(5)
∴CM=CB
∴∠CBM=∠CMB(6)
∴PM=PB∴∠PBM=∠PMB
∴∠PMB+∠CMB=∠PBM+∠CBM=90°
即PM⊥MC
∴CM是⊙P的切线;(7分)

(3)方法一:作M点关于x轴的对称点M',则M′(0,-4),
连接M'C,与x轴交于点Q,此时QM+QC的和最小,
因为MC为定值,所以△QMC的周长最小,(8分)
∵△M'OQ∽△M′EC
(9分)
;(10分)

方法二:作M点关于x轴的对称点M′,则M′(0,-4),
连接M'C,与x轴交于点Q,此时QM+QC的和最小,
因为MC为定值,所以△QMC的周长最小,(8分)
设直线M'C的解析式为y=kx+b,
把M′(0,-4)和C(8,10)分别代入得
解得
,当y=0时,(9分)
.(10分)
点评:本题解答方法灵活多变.综合考查的是轴对称的有关知识,相似三角形的判定以及正方形的性质等,难度中上.
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