Question

如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

(1)求证：；

(2)设EF＝x，矩形EFPQ的面积为y，求y与x函数关系式，并求y的最大值；

(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ．　1分 　　∴△AEF∽△ABC．　2分 　　又∵AD⊥BC，∴AH⊥EF．　3分 　　∴．　4分 　　(2)由(1)得，∵BC＝10，AD＝8，EF＝， 　　∴．∴．　5分 　　∴EQ＝HD＝AD－AH＝8－．　6分 　　∴＝EF×EQ＝(8－)＝＝．　8分 　　∵，∴当时，的最大值为20．　9分 　　(3)　12分 　　附：第(3)小题详解：由(2)得EF＝5，EQ＝4． 　　∵∠C＝45°，∴△PFC为等腰直角三角形． 　　∴PC＝FP＝EQ＝4，QC＝QP＋PC＝9． 　　分三种情况讨论： 　　①如下图1，当时，设EF、PF分别交AC于点M、N， 　　则△MFN为等腰直角三角形．∴FN＝MF＝． 　　∴； 　　②如下图2，时，则ME＝5－，QC＝9－， 　　∴； 　　③如下图3，时，设EQ与AC交于点K， 　　则KQ＝QC＝9－． 　　∴． 　　综上所述，S与t的函数关系式为：