Question

（2012•长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．

Answer 1

分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可；
（2）连接OB，由等边三角形的性质可知，∠OBD=30°，根据OB=8利用直角三角形的性质即可得出结论．

解答：（1）证明：在△ABC中，
∵∠BAC=∠APC=60°，
又∵∠APC=∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∴OD=8×

1

2

=4．

点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，将各知识点有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力．