Question

20．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=BD，点E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点．求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．

解答 证明：在△ABC中，F、G分别是AB、BC的中点，
故可得：FG=$\frac{1}{2}$AC，同理EH=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，
在四边形ABCD中，AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分别是AD、CD的中点，
则EH∥AC，
同理GH∥BD，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 此题考查了正方形的判定，解题的关键是了解既是矩形又是菱形的四边形是正方形，难度适中．