Question

18．如图，△ABC中，AB=4，AC=2，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于F，连接EF，则线段EF的长为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．

解答 解：延长CF交AB于G，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠GAF=∠CAF，
在△AGF和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠CAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\\{∠AFG=∠AFC=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=2，GF=CF，
则BG=AB-AG=4-2=2．
又∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BG=1．
故选：C．

点评 本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．