Question

如图，点A₁，A₂，A₃，A₄在射线OA上，点B₁，B₂，B₃在射线OB上，且A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃．若△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为

 

．

Answer 1

分析：已知△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A₂B₂：A₃B₃=1：2，由于△A₂B₂A₃与△B₂A₃B₃是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A₃B₂B₃的面积为4，可求出△A₂B₂A₃的面积，同理可求出△A₃B₃A₄和△A₁B₁A₂的面积．即可求出阴影部分的面积．

解答：解：△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1，4，
又∵A₂B₂∥A₃B₃，A₂B₁∥A₃B₂，
∴∠OB₂A₂=∠OB₃A₃，∠A₂B₁B₂=∠A₃B₂B₃，
∴△B₁B₂A₂∽△B₂B₃A₃，
∴

B1B2

B2B3

=

1

2

=

A2B2

A3B3

，
∴

A2A3

A3A4

=

1

2

．
∵

S△A2B2A3

S△B2A3B3

=

1

2

，△A₃B₂B₃的面积是4，
∴△A₂B₂A₃的面积为=

1

2

×S_△A3B2B3=

1

2

×4=2（等高的三角形的面积的比等于底边的比）．
同理可得：△A₃B₃A₄的面积=2×S_△A3B2B3=2×4=8；
△A₁B₁A₂的面积=

1

2

S_△A2B1B2=

1

2

×1=0.5．
∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．
故答案为：10.5．

点评：本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．