Question

【题目】如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，AB=CD．

（1）求证：△AEC≌△DEB；

（2）点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）要证△AEC≌△DEB，由于AB=CD，根据等弦所对的弧相等得=，根据等量减等量还是等量，得=，由等弧对等弦得BD=CA，由圆周角定理得，∠ACE=∠DBE，∠AEC=∠DEB，即可根据AAS判定；

（2）由△AEC≌△DEB得，BE=CE，得到点E在直线BC的中垂线上，连接BO，CO，BO和CO是半径，则BO和CO相等，即点O在线段BC的中垂线上，亦即直线EO是线段BC的中垂线，所以点B与点C关于直线OE对称．

（1）证明：∵AB=CD，

∴=．

∴-=-．

∴=．

∴BD=CA．

在△AEC与△DEB中，，

∴△AEC≌△DEB（AAS）．

（2）点B与点C关于直线OE对称．

理由如下：如图，连接OB、OC、BC．

由（1）得BE=CE．

∴点E在线段BC的中垂线上，

∵BO=CO，

∴点O在线段BC的中垂线上，

∴直线EO是线段BC的中垂线，

∴点B与点C关于直线OE对称．