Question

如图，在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，在BD上有一动点G以每秒1个单位的速度从点D出发至点B，以G为直角顶点作等腰Rt△EFG，使得GE∥AD，GF∥AB，且GE=6．
（1）线段BD的长度是

 

；
（2）点G在运动过程中，求出矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式及其自变量取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质得到∠A=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）有4种情况①当点E在AB上时，根据△BEG∽△BAD得出

BG

BD

=

EG

AD

，求出t=10，当0≤t≤10时s=18；②当点F在BC上时，由△BFG∽△BCD，得出比例式即可求出t=12.5，当10＜t≤12.5时，S=18-

1

2

(

3

5

t-6)2，③当点E、F均在矩形ABCD外侧，且EF与BD有交点时，由△BMG∽△BAD和△BKG∽△BCD，推出

MG

AD

=

KG

CD

，令MG=x，则KG=6-x，

6-x

16

=

x

12

，求出x，进一步求出t，当12.5＜t≤

110

7

时，S=

1

2

×6×6-

1

2

(

4

5

t-10)2-

1

2

(

3

5

t-6)2，④如图，当EF与BD没有交点时，即

110

7

＜t≤20时，S=GM•GK，代入求出即可．

解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∵AB=16，AD=12，
由勾股定理得：BD=

AD2+AB2

=

162+122

=20，
故答案为：20．

（2）①如图，当点E在AB上时，
∵EG∥AD，
∴△BEG∽△BAD，
∴

BG

BD

=

EG

AD

，
∴

20-t

20

=

6

12

，
解得t=10，
∴当0≤t≤10时，
S=

1

2

×6×6=18，
②如图，当点F在BC上时，
∵FG∥CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴

BG

BD

=

FG

CD

，
∴

20-t

20

=

6

16

，
解得t=12.5，
∴当10＜t≤12.5时，
S=18-

1

2

(

3

5

t-6)2=-

9

50

t2+

18

5

t，
③如图，当点E、F均在矩形ABCD外侧，
且EF与BD有交点时，
∵EG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，
∴

BG

BD

=

MG

AD

，
∵FG∥CD，
∴△BKG∽△BCD，
∴

BG

BD

=

KG

CD

，
∴

MG

AD

=

KG

CD

，
令MG=x，则GK=6-x，
∴

6-x

16

=

x

12

，
∴x=

18

7

，
∵

20-t

20

=

18 7

12

，
∴t=

110

7

，
∴当12.5＜t≤

110

7

（当t=

110

7

时，EF过B点）时，
S=

1

2

×6×6-

1

2

（

4

5

t-6）²-

1

2

（

3

5

t-6）²，
=-

16

25

t²-18，
④当EF与BD没有交点时，
即

110

7

＜t≤20时，
S=GM•GK=(12-

3

5

t)(16-

4

5

t)=

12

25

t2-

96

5

t+192，
答：矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式是s=18（0≤t≤10）或s=-

9

50

t2+

18

5

t（10＜t≤12.5）或
S=-

1

2

t2+

58

5

t-50（12.5＜t≤

110

7

）或S=

12

25

t2-

96

5

t+192（

110

7

＜t≤20）．

点评：本题主要考查对矩形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．