Question

如图，△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论；

Answer 1

解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．

（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF；
（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。