Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，D是AB上一个动点，将点D绕点C顺时针旋转60°，得到点E，连接AE．若AE＝，则BD＝_____．

Answer 1

【答案】1或3

【解析】

取AB中点F，连接EF交直线EF交AC于点K．分点E在△ABC内部或外部两种情形分别求解即可．

解：取AB中点F，连接EF交直线EF交AC于点K．

情形1：当点E在△ABC内部时，如图1中，连接CF，DE．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝8，AC＝BC＝4，

∵AF＝FB，

∴CF＝BF＝AF，

∵∠B＝60°，

∴△BCF是等边三角形，

∴CF＝CB，∠BCF＝60°，

∵CD＝CE，∠DCE＝60°，

∴∠BCF＝∠DCE，

∴∠BCD＝∠FCE，

∴△BCD≌△FCE(SAS)，

∴BD＝EF，∠B＝∠CFE＝60°，

∴∠CFE＝∠BCF＝60°，

∴EF∥BC，

∵AF＝FB，

∴AK＝CK＝2，FK＝BC＝2，

在Rt△AEK中，EK＝＝1，

∴EF＝FK﹣EK＝1．

情形2：当点E在△ABC外部时，同法可得：BD＝EF＝FK+EK＝2+1＝3，

故答案为1或3．