【题目】在中,,,,点D在边AB上,且,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,以PD为边向上做正方形,设点P运动的时间为秒,正方形与重叠部分的面积为.
(1)用含有的代数式表示线段的长.
(2)当点落在的边上时,求的值.
(3)求与的函数关系式.
(4)当点P在线段AD上运动时,做点N关于CD的对称点,当与的某一个顶点的连线平分的面积时,求的值.
【答案】(1)当0t3时PD=3-t,当3<t7时,PD=t-3;(2),;(3);(4),,.
【解析】
(1)分0<t≤3时,3<t≤7时,两种情形分别求解即可.
(2)分两种情形①如图2中,当点N在AC上时,②如图3中,当点N在BC上时,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
(3)分三种情形:①如图4中,当0<t≤时,重叠部分是五边形EFPDM,②如图5或6中.当<t≤5时,重叠部分是正方形PDMN.③如图7中,当5<t≤7时,重叠部分是五边形EFPDM,分别求解即可.
(4)分三种情形画出图形,利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题.
解:(1)如图1中,作CD′⊥AB于D.
∵∠B=45°,BC=4,
∴CD′=BD′=4,
又∵CD′⊥AB,,
∴在Rt△ACD′中,
AD′=,
∵AD=3,
∴AD=AD′,
∴D′与D重合,
当0<t≤3时,PD=3﹣t.
当3<t≤7时,PD=t﹣3.
(2)①如图2中,当点N在AC上时,
∵MN∥AD,
∴,
∴,
解得t=.
②如图3中,当点N在BC上时,
∵MN∥BD,
∴,
∴,
解得t=5
综上所述,满足条件的t的值为s或5s.
(3)①如图4中,当0<t≤时,重叠部分是五边形EFPDM,
s=S正方形MDPN﹣S△NEF=(3﹣t)2﹣
②如图5或6中,当<t≤5时,重叠部分是正方形PDMN,s=t2﹣6t+9
③如图7中,当5<t≤7时,重叠部分是五边形EFPDM,s=S正方形MNPD﹣S△EFN=(t﹣3)2﹣[(t﹣3)﹣(7﹣t)]2=﹣t2+14t﹣41.
综上所述,.
(4)如图8中,当点N′落在中线AE上时,作EK⊥BC于K,N′J⊥AB于J.
∵JN′∥EK,
∴,
则有,
解得t=1.
如图9中,当点N′落在中线BG上时,作GK⊥BC于K,N′J⊥AB于J.
∵N′J∥GK,
∴,
∴,
解得t=.
如图10中,当点N′落在中线CF上时,
∵MN′∥DF,
∴,
∴,
解得t=.
综上所述,满足条件的t的值为1s或s或s.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,反比例函数的图象和都在第一象限内,,轴,且,点的坐标为.
(1)若反比例函数的图象经过点B,求此反比例函数的解析式;
(2)若将向下平移(m>0)个单位长度,,两点的对应点同时落在反比例函数图象上,求的值.
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【题目】某商场计划购进A、B两种新型节能台灯,已知B型节能台灯每盏进价比A型的多40元,且用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同.
(1)求每盏A型节能台灯的进价是多少元?
(2)商场将购进A、B两型节能台灯100盏进行销售,A型节能台灯每盏的售价为90元,B型节能台灯每盏的售价为140元,且B型节能台灯的进货数量不超过A型节能台灯数量的2倍.应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时利最多?此时利润是多少元?
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【题目】今年初,新型冠状病毒肺炎侵袭湖北,武汉是重灾区,某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉,第一次花了500000元,第二次花了770000,购买了同样的N95口罩,已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍,且比第一次多购进了10000个,求该爱心人士第一次购进口罩的单价.
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【题目】某教研机构为了了解初中生课外阅读名著的现状,随机抽取了某校50名初中生进行调查,依据相关数据绘制成了以下不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
类别 | 重视 | 一般 | 不重视 |
人数 | a | 15 | b |
(1)求表格中a,b的值;
(2)请补全统计图;
(3)若某校共有初中生2000名,请估计该校“重视课外阅读名著”的初中生人数.
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【题目】已知直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a≠0)的图象的对称轴,点A(x1,y1)和点B(x2,y2)为其图象上的两点,且y1<y2,( )
A.若x1<x2,则x1+x2﹣2<0B.若x1<x2,则x1+x2﹣2>0
C.若x1>x2,则a(x1+x2-2)>0D.若x1>x2,则a(x1+x2-2)<0
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【题目】某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75.其图象如图所示.
⑴a= ;b= ;
⑵销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
⑶由图象可知,销售单价x在 时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
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